Chủ đề: Khoảng cách (Hình học 11 - Chương III)

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Chủ đề: Khoảng cách (Hình học 11 - Chương III)": http://123doc.vn/document/557998-chu-de-khoang-cach-hinh-hoc-11-chuong-iii.htm

AH BM, theo định lí ba đờng vuông góc.
b. Ta thấy ngay khoảng cách từ S đến BM chính là SH và
trong SAH ta có:
SH
2
= SA
2
+ AH
2
. (1)
Trong ABC vuông tại C có BÂC = 30
0
nên:
BC =
2
AB
= a và AC = AB.cosBÂC = 2a.cos30
0
=
3a
.
Trong BCM vuông tại C, ta có:
BM
2
= BC
2
+ CM
2
= BC
2
+ (AC AM)
2

= a
2
+ (
3a
x)
2
= x
2
2
3
ax + 4a
2
BM =
22
a4ax32x
+
.
Nhận xét rằng AMH và CMB là hai tam giác vuông có
ã
ã
AMH CMB=
nên
chúng đồng dạng, suy ra:
BM
AM
BC
AH
=
AH =
BM
BC.AM
=
22
a4ax32x
xa
+
. (2)
Thay (2) và SA = 2a vào (1), ta đợc:
SH
2
= 4a
2
+
22
22
a4ax32x
ax
+
=
22
4322
a4ax32x
a16xa38ax5
+
+
SH =
22
4322
a4ax32x
a16xa38ax5
+
+
.
Từ hệ thức (1) với SA = 2a không đổi, ta có nhận xét:
SH đạt giá trị lớn nhất khi:
AH
Max
AM
Max
M C x =
3a
.
SH đạt giá trị nhỏ nhất khi:
AH
Min
AM
Min
M A x = 0.
Vấn đề 2: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Phơng pháp áp dụng
Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt
phẳng (P), ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1:
Để dựng OH với H là hình chiếu
vuông góc của O lên (P), ta thực hiện:

Lấy đờng thẳng a nằm trong (P).

Dựng mặt phẳng (Q) qua O vuông góc với a cắt (P)
theo giao tuyến b (cần chọn a sao cho mặt phẳng (Q) dễ
dựng).

Trong (Q), hạ OH b tại H.
5
P
Q
O
b
a
H
Bớc 2:
OH là khoảng cách từ O đến .
Tính độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ A đến (P).
6
Giỏo ỏn in t ca bi ging ny giỏ: 1.250.000.
1. Liờn h thy Lấ HNG C qua in thoi 0936546689
2. Bn gi tin v:
Lấ HNG C
S ti khon: 1506205006941
Chi nhỏnh NHN
0
& PTNT Tõy H
3. 3 ngy sau bn s nhn c Giỏo ỏn in t qua email.
LUễN L NHNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY
7
Chú ý:
1. Trong bớc 1, trớc khi chọn a và dựng mặt phẳng (P) nên xét xem a và (P) đã có
sẵn trên hình vẽ cha. Nếu có, chúng ta sẽ giảm thiểu đợc phép dựng hình.
2. Nếu đã có sẵn đờng thẳng d vuông góc với thì
chỉ cần dựng Ox // d ta đợc Ox .
3. Nếu OA // thì:
d(O, ) = d(A, ).
4. Nếu OA cắt tại I thì:
AI
OI
),A(d
),O(d
=


.
5. Sử dụng tính chất của trục đờng tròn, cụ thể:
Định nghĩa: Đờng vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn tại tâm của đờng tròn
gọi là trục của đờng tròn đó.
Ta có thể dùng tính chất của trục đờng tròn để:
a. Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
b. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cụ thể với trờng hợp:
Nếu O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC và M là một điểm cách đều ba
điểm A, B, C thì đờng thẳng MO là trục của đờng tròn ngoại tiếp ABC.
Khi đó MO (ABC) và MO = d(M, (ABC)).
Nếu MA = MB = MC và NA = NB = NC trong đó A, B, C là ba điểm không
thẳng hàng thì đờng thẳng MN là trục của đờng tròn qua ba điểm A, B, C.
Khi đó MN (ABC) tại tâm O của đờng tròn qua ba điểm A, B, C.
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi P, Q theo thứ tự là
trung điểm của BC và BD.
a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
b. Tính khoảng cách từ A tới đờng thẳng PQ.
Giải
a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD), chúng ta đã biết rằng H chính
là trọng tâm BCD, do đó:
d(A, (BCD)) = AH =
2 2
AB BH
=
2
2
2
AB BM
3


ữ

=
2
2
4a
a
9

=
a 5
3
.
b. Giả sử PQ cắt BM tại I thì I là trung điểm của PQ, ta có:
APQ cân tại A AI PQ.
Do đó:
8
D
A
B
M
C
H
P
I
Q
H
d
O

H
A
O

K
H
A
O

K
I
d(A, PQ) = AI =
2 2
AP IP
=
2
2
1
AP PQ
2


ữ

=
2 2
3a a
4 16

=
a 11
4
.
Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên việc khai thác đợc tính
chất của một tứ diện đều (hoặc hình chóp đều) chúng ta xác
định đợc ngay hình chiếu vuông góc của A trên (BCD). Và để
tính độ dài của AH chúng ta chỉ cần sử dụng định lí Pitago
cùng độ dài đờng trung tuyến của một tam giác đều.
ở ví dụ tiếp theo, chúng ta cũng sẽ dễ dàng dự đoán đợc đoạn
vuông góc nhng cần phải chứng minh.
Ví dụ 2: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc B
ÂD = 60
0
. Đờng thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO
=
4
a3
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
a. Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b. Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
Giải
a. Với giả thiết, ta có:
OBE đều OF BC. (1)
Mặt khác, ta cũng có:
SO (ABCD) SO BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BC (SOF) (SBC) (SOF).
b. Trong SOF hạ OH vuông góc với SF, suy ra:
OH (SBC) OH = d(O, (SBC)).
Trong SOF vuông tại O, ta có:
222
OF
1
OS
1
OH
1
+=
OH =
8
a3
.
Vì AO (SBC) = C nên:
2
1
AC
OC
))SBC(,A(d
))SBC(,O(d
==
d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH =
4
a3
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có
ã
ASB
= 90
0
,
ã
BSC
= 60
0
,
ã
ASC
= 120
0
và
SA = SB = SC = a. Gọi I là trung điểm của cạnh AC.
a. Chứng minh rằng SI (ABC).
b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Giải
a. Trong SAB vuông cân tại S, ta có:
9
D
C
B
A
S
O
E
F
H
S
A C
I
B
AB = SA
2
= a
2
.
Trong SBC cân tại S có
ã
BSC
= 60
0
nên là tam giác
đều, suy ra BC = a.
Trong SAC cân tại S, ta có:
SÂC = 30
0
,
AC
2
= SA
2
+ SC
2
2SA.SC.cos
ã
ASC
= 3a
2
AC =
a 3
.
Nhận xét rằng:
AB
2
+ BC
2
= 2a
2
+ a
2
= 3a
2
= AC
2

ABC vuông tại B I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
Vậy với SA = SB = SC, ta đợc:
SI (ABC) và d(S, (ABC)) = SI.
b. Trong SAI vuông tại I, ta có:
SI = SA.sinSÂI = SA.sinSÂC = a.sin30
0
=
a
2
.
Vậy, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng
a
2
.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB = 120
0
, BSC = 60
0
,
CSA = 90
0
.
a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông.
b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Giải
a. Nhận xét rằng:
Trong SAB, ta có:
AB
2
= SA
2
+ SB
2
2SA.SB.cosASB
= a
2
+ a
2
2.a.a.







2
1
= 3a
2
.
Trong SAC đều, ta có AC = a.
Trong SBC vuông cân tại S, ta có BC =
2a
.
Từ đó, nhận thấy:
AB
2
= AC
2
+ BC
2
ABC vuông tại C.
b. Gọi H là trung điểm AB, ta có:
SH AB, (1)
SH =
2
1
SA =
2
a
, CH =
2
1
AB =
2
3a
,
suy ra:
10
B
S
A
C
H
SH
2
+ CH
2
=
2
2
a






+
2
2
3a








= a
2
= SC
2
HCS vuông tại H
SH HC. (2)
Từ (1) và (2), suy ra:
SH (ABC) d(S, (ABC)) = SH =
2
a
.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a,
SA a 3=
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Hãy dựng đờng thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông
góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Hãy dựng đờng thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng
(SBC). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
c. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
d. Tính khoảng cách từ trọng tâm của SAB đến (SAC).
Giải
a. Gọi M là trung điểm của SC.
Trong SAC, ta có:
OM là đờng trung bình
OM // SA OM (ABCD).
Vậy OM là đờng thẳng cần dựng.
b. Nhận xét rằng:
BC AB
BC SA





BC (SAB) (SAB) (SBC).
Hạ AH vuông góc với SB, ta có ngay AH (SBC).
Vậy AH là đờng thẳng cần dựng.
Trong SAB vuông tại A, ta có:
2 2 2
1 1 1
AH SA AB
= +
=
2
2
1 1
a
(a 3)
+
=
2
4
3a
AH =
a 3
2
.
c. Vì AO (SBC) = C nên:
d(O,(SBC)) OC 1
d(A,(SBC)) AC 2
= =
d(O, (SBC)) =
1
2
d(A, (SBC)) =
1
2
AH =
a 3
4
.
d. Gọi E là trung điểm AB, hạ EF AC, ta đợc:
EF AC
EF SA





EF (SAC)
do đó EF chính là khoảng cách từ E tới (SAC).
11
A
D
C
B
M
O
S
E
H
G
F
O
F
A
B
C
D
E
Trong OAB, ta có:
EF là đờng trung bình EF =
1
2
OB =
a 2
4
.
Gọi G là trọng tâm ABC, vì EG (SAC) = S nên:
d(G,(SAC)) GS 2
d(E,(SAC)) ES 3
= =
d(G, (SAC)) =
2
3
d(E, (SAC)) =
2
3
EF =
a 2
6
.
Vấn đề 3: Khoảng cách giữa đờng thẳng và mặt phẳng
song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Phơng pháp áp dụng
1. Cho đờng thẳng d song song với mặt phẳng , để tính khoảng cách
giữa d và ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến
có thể đợc xác định dễ nhất.
Bớc 2:
Kết luận d(d, (P)) = d(A, (P)).
2. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q), để tính khoảng cách giữa
(P) và (Q) ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Chọn một điểm A trên (P), sao cho khoảng cách từ A đến
(Q) có thể đợc xác định dễ nhất.
Bớc 2:
Kết luận d((P), (Q)) = d(A, (Q)).
Ví dụ 1: (Bài 33/tr 118 Sgk): Cho hình hộp thoi ABCD.A'B'C'D' có các
cạnh đều bằng a và BÂD = BÂA' = DÂA' = 60
0
. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A'B'C'D').
Giải
Hạ A'H AC, ta có nhận xét:





O'ABD
ACBD
BD (OAA')
BD A'H A'H (ABCD),
và vì (ABCD) // (A'B'C'D') nên A'H chính là khoảng
cách giữa hai mặt phẳng đáy.
Nhận xét rằng hình chóp A'.ABD là hình chóp đều, nên ta lần lợt có:
AH =
3
2
AO =
3
2
.
2
3a
=
3
3a
,
12
C
C'
D
D'
A
A'
B
B'
H
O
A'H
2
= A'A
2
AH
2
= a
2

3
a
2
=
3
a2
2
A'H =
3
6a
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA =
a 6
và vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đờng tròn
đờng kính AD = 2a.
a. Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b. Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
c. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt
phẳng song song với mặt phẳng (SAD) và cách một khoảng
bằng
a 3
4
.
Giải
a. Nhận xét rằng:
CD AC
CD SA





CD (SAC) (SCD) (SAC).
Hạ AH vuông góc với SC, ta có ngay AH (SCD).
Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới (SCD).
Trong SAB vuông tại A, ta có:
2 2 2
1 1 1
AH SA AC
= +
=
2 2
1 1
(a 6) (a 3)
+
=
2
1
2a
AH =
a 2
.
Gọi I là trung điểm AD, suy ra:
BI // CD BI // (SCD) d(B, (SCD)) = d(I, (SCD)).
Mặt khác, ta lại có AI (SCD) = D nên:
d(I,(SCD)) ID 1
d(A,(SCD)) AD 2
= =

d(I, (SCD)) =
1
2
d(A, (SCD)) =
1
2
AH =
a 2
2
.
b. Nhận xét rằng:
AD // CD AD // (SBC) d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Hạ AK vuông góc với BC, ta đợc:
BC AK
BC SA





BC (SAK) (SBC) (SAK) và (SBC) (SAK) = AK.
Hạ AG vuông góc với SK, ta có ngay AG (SBC).
Vậy AG là khoảng cách từ điểm A tới (SBC).
Trong SAK vuông tại A, ta có:
2 2 2
1 1 1
AG SA AK
= +
=
2 2
1 1
(a 6) (a 3 / 2)
+
=
2
3
2a
AG =
a 6
3
.
13
A
B
C
D
N
S
M
I
H
K
E
G
c. Nhận xét rằng:
AK AD
AK SA





AK (SAD).
Giả sử mặt phẳng song song với mặt phẳng (SAD) cắt AK tại E, khi đó:
d(, (SAD)) = AE =
a 3
4
=
1
2
AK E là trung điểm của AK.
Ta đi xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng qua E và song song
với (SAD), nh sau:
//(SAD)
(ABCD) Ex
(SAD) (ABCD) AD



=


=

Ex // AD
và Ex cắt AB, CD theo thứ tự tại M, N là trung điểm của mỗi đoạn.
Trong mặt phẳng (SAB) dựng My // SA và cắt SB tại Q là trung điểm của SB.
Trong mặt phẳng (SCD) dựng Nz // SD và cắt SC tại P là trung điểm của SC.
Vậy, thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng là MNPQ, ngoài ra vì:
MN // CD // PQ MNPQ là hình thang
MQ // SA MQ (ABCD) MQ MN MNPQ là hình thang vuông
Từ đó, ta đợc S
MNPQ
=
1
2
(MN + PQ).MQ
trong đó:
MN =
1
2
(AD + BC) =
3a
2
, vì MN là đờng trung bình của ABCD,
PQ =
1
2
BC =
a
2
, vì PQ là đờng trung bình của SBC,
MQ =
1
2
SA =
a 6
2
, vì MQ là đờng trung bình của SAB,
suy ra:
S
MNPQ
=
1
2
3a a
2 2

+
ữ

.
a 6
2
=
2
a 6
2
.
Vấn đề 4: Đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng
chéo nhau.
Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
Phơng pháp áp dụng
1. Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau a
và b, ta lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
14