5
Ví dụ. 1) Ta có lim
t0
1
1
x
2
+ t
2
dx =
1
1
|x|dx =1vì hàm
x
2
+ t
2
liên tục trên
[1, 1] ì [, ].
2) Khảo sát tính liên tục tại điểm (0, 0) của hàm f(x, t)=
xt
2
e
x
2
t
2
nếu t =0
0 nếu t =0
.
Nếu f(x, t) liên tục tại (0, 0), thì f(x, t) liên tục trên [0, 1]ì [, ]. Khi đó, tích
phân I(t)=
1
0
f(x, t)dx liên tục trên [, ] . Nh-ng ta có
lim
t0
I(t) = lim
t0
1
0
xt
2
e
x
2
t
2
=
1
2
lim
t0
1
0
e
x
2
t
2
d(x
2
t
2
)
=
1
2
lim
t0
(e
t
2
1) =
1
2
=0=I(0).
Vậy, hàm f(x, t) không liên tục tại (0, 0).
Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một tổng quát hóa của Định lý 1 trong tr-ờng hợp
X =[a, b].
Định lý 2. Cho f(x, t) liên tục trên [a, b]ì T , với T là tập compact và a(t),b(t)
là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t),b(t) [a, b] với mọi t T . Khi đó, tích
phân
I(t)=
b(t)
a(t)
f(x, t)dx
liên tục trên T .
Chứng minh. Do f liên tục trên tập compact nên giới nội, tức là tồn tại M>0
sao cho | f(x, y) | M với mọi (x, t) [a, b]ì T . Cố định t
0
T ta có:
| I(t) I(t
0
) |=
a(t
0
)
a(t)
f(x, t)dx +
b(t)
b(t
0
)
f(x, t)dx +
b(t
0
)
a(t
0
)
[f(x, t) f(x, t
0
)]dx
a(t
0
)
a(t)
f(x, t)dx
+
b(t)
b(t
0
)
f(x, t)dx
+
b(t
0
)
a(t
0
)
(f(x, t) f(x, t
0
))dx
M | a(t) a(t
0
) | +M | b(t) b(t
0
) | +
b(t
0
)
a(t
0
)
| f(x, t) f(x, t
0
) | dx.
6
Khẳng định suy ra từ tính liên tục của a(t),b(t) và Định lý 1.
Ví dụ. Do hàm
1
1+x
2
+ t
2
liên tục trên [0, 1] ì [, ] và các hàm (t)=t,
(t) = cos t liên tục trên [, ], ta có
lim
t0
cos t
t
dx
1+x
2
+ t
2
dx =
1
0
dx
1+x
2
=
4
.
1.3 Tính khả vi.
Định lý 3. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêng
f
t
i
(x, t), i =1, ,m, liên tục
trên X ì T R
n
ì R
m
, ở đây X, T là các tập compact, thì tích phân
I(t)=
X
f(x, t)dx
khả vi trên
o
T và với mỗi i ta có:
I
t
i
(t)=
X
f
t
i
(x, t)dx.
Chứng minh. Với mỗi t
0
o
T cố định ta có:
I(t
0
+ h
i
e
i
) I(t
0
)
h
i
=
X
f(x, t
0
+ h
i
e
i
) f(x, t
0
)
h
i
dx.
trong đó e
i
là cơ sở chính tắc của R
m
. áp dụng định lý giá trị trung bình cho
hàm 1 biến ta có:
f(x, t
0
+ h
i
e
i
) f(x, t
0
)=
f
t
i
(x, t
0
+
i
h
i
e
i
)h
i
, 0 <
i
< 1
Khi đó :
I(t
0
+ h
i
e
i
) I(t
0
)
h
i
X
f
t
i
(x, t
0
)dx
=
X
[
f
t
i
(x, t
0
+
i
h
i
e
i
)
f
t
i
(x, t
0
)]dx
7
Sử dụng tính liên tục của
f
t
i
(x, t) trên compact XìT và lý luận nh- trong chứng
minh Định lý 1 suy ra
I
t
i
(t
0
) = lim
h
i
0
I(t
0
+ h
i
e
i
) I(t
0
)
h
i
=
X
f
t
i
(x, t)dx.
Tính liên tục của
I
t
i
(t) trên T suy ra từ Định lý 1
Ví dụ. Xét I(t)=
/2
0
1
cos x
ln
1+t cos x
1 t cos x
dx, t (1, 1). Ta có các hàm
f(x, t)=
1
cos x
ln
1+t cos x
1 t cos x
nếu x = /2
2t nếu x = /2
f
t
(x, t)=
2
1 t
2
cos
2
x
,
liên tục trên [0,/2] ì [1+, 1 ]. Vậy, theo định lý trên
I
(t)=2
/2
0
dx
1 t
2
cos
2
x
=2
0
du
1 t
2
+ u
2
=
1 t
2
.
Từ đó, I(t)= arcsin t + C.VìI(0) = 0, nên C =0. Vậy, I(t)= arcsin t.
Định lý 4. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêng
f
t
i
(x, t), i =1, ,m, liên tục
trên [a, b] ì T , ở đây T là tập compact trong R
m
, (t),(t) khả vi trên T và
(t),(t) [a, b] với mọi t T , thì tích phân
I(t)=
b(t)
a(t)
f(x, t)dx
khả vi trên
o
T và với mỗi i ta có:
I
t
i
(t)=
(t)
(t)
f
t
i
(x, t)dx + f((t),t)
t
i
(t) f((t),t)
t
i
(t).
8
Chứng minh. Xét hàm m +2 biến
F (t, u, v)=
v
u
f(x, t)dx, (t, u, v) D = T ì [a, b]ì [a, b].
Ta sẽ chỉ ra rằng F (t, u, v) là hàm khả vi. Với mỗi u, v cố định, từ Định lý 3,
suy ra
F
t
i
(t, u, v)=
v
u
f
t
i
(x, t)dx.
Vế phải của đẳng thức trên đ-ợc xem nh- là tich phân phụ thuộc các tham số t, u, v.
Hàm
f
t
i
(x, t) xem nh- là hàm theo các biến x, t, u, v liên tục trên [a, b]ì D.Từ
Định lý 2, với a(t, u, v)=u, b(t, u, v)=v, suy ra
F
t
i
(t, u, v) là hàm liên tục
trên D. Ngoài ra ta còn có
F
u
(t, u, v)=f(u, t) và
F
v
(t, u, v)=f(v, t)
đều là những hàm liên tục trên D. Vậy, hàm F (t, u, v) khả vi.
Hàm I(t) đ-ợc xem nh- là hàm hợp I(t)=F (t, (t),(t)). Từ đó , hàm I(t)
khả vi và
I
t
i
(t)=
F
t
i
(t, (t),(t)) +
F
u
(t, (t),(t))
t
i
(t)+
F
v
(t, (t),(t))
t
i
(t)
=
(t)
(t)
f
t
i
(x, t)dx + f((t),t)
t
i
(t) f((t),t)
t
i
(t).
Ví dụ. Xét tích phân I(t)=
sin t
t
e
tx
dx. Theo Định lý trên, hàm I(t) khả vi và
I
(t)=
sin t
t
xe
tx
dx + e
t sin t
cos t e
t
2
.
9
2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a,)ì T , T R, sao cho với
mỗi t T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên [a, b], với mọi b>a. Tích phân
I(t)=
a
f(x, t)dx (1),
gọi là tích phân suy rộng loại 1 phụ thuộc tham số. Tích phân (1) gọi là hội tụ
tại t
0
nếuu tích phân
a
f(x, t
0
)dx hôi tụ, tức là tồn tại lim
b
b
a
f(x, t
0
)dx = I(t
0
)
hữu hạn.
Tích phân (1) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T , tức là
>0,t T,a
0
(, t) >a, sao cho b a
0
=
b
f(x, t)
<.
Tích phân (1) gọi là hội tụ đều trên T nếuu
>0,a
0
() >a, sao cho b a
0
,t T =
b
f(x, t)
<.
Định nghĩa 3. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a, b) ì T , T R, sao cho với
mỗi t T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên mỗi đoạn [a, b ], >0 . Tích
phân
J(t)=
b
a
f(x, t)dx = lim
0
+
b
a
f(x, t)dx, (2)
gọi là tích phân suy rộng loại 2 phụ thuộc tham số. Tích phân (2) gọi là hội tụ
tại t
0
nếuu tích phân
b
a
f(x, t
0
)dx hội tụ, tức là tồn tại lim
0
b
a
f(x, t
0
)dx = J(t
0
)
hữu hạn.
Tích phân (2) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T , tức là
>0,t T,(, t) > 0, sao cho 0 < <=
b
b
f(x, t)
<.
10
Tích phân (2) gọi là hội tụ đều trên T nếuu
>0,
0
() > 0, sao cho 0 < <,t T =
b
b
f(x, t)
<.
Chú ý. 1) T-ơng tự, ta định nghĩa
I(t)=
b
f(x, t)dx = lim
a
b
a
f(x, t)f(x, t),
J(t)=
b
a
f(x, t)dx = lim
0
+
b
a+
f(x, t)f(x, t),
và cũng có khái niệm hội tụ, hội tụ đều t-ơng ứng.
2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại 2 đ-ợc thực hiện
hoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa các khái niệm đến các tính chất.
Do đó, trong mục này, ta chỉ khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
I(t)=
a
f(x, t)dx.
Ví dụ. Xét tích phân I(t)=
0
te
xt
dx. Khi đó
a) I(t) hội tụ trên (0,) vì
>0,t T,a
0
=
ln
t
,b>a
0
=
b
te
xt
= e
bt
<.
b) I(t) không hội tụ đều trên (0,) vì với (0, 1), với mọi a
0
> 0, nếu chọn
b = a
0
và t từ bất đẳng thức 0 <t<
ln
a
0
, thì ta có
b
te
xt
= e
bt
>.
c) I(t) hội tụ đều trên T
r
=[r,), với r>0. Thật vậy, ta có
>0,a
0
=
ln
r
,b a
0
,t T
r
=
b
te
xt
= e
bt
<e
a
0
r
<.
11
2.2 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều
Định lý 5. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ đều trên
T khi và chỉ khi
>0,a
0
() >a, sao cho b
1
,b
2
a
0
,t T =
b
2
b
1
f(x, t)
<. ()
Chứng minh. Giả sử I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ đều trên T . Khi đó, Điều kiện ()
suy ra từ bất đẳng thức
b
2
b
1
f(x, t)
b
1
f(x, t)
+
b
2
f(x, t)
Ng-ợc lại, với t cố định, điều kiện () suy ra I(t) hội tụ. Trong (), cho b
2
0,
suy ra I(t hội tụ đều theo định nghĩa.
Định lý 6. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử
(1) tồn tại hàm (x) sao cho |f(x, t)|(x), x a, t T ,
(2) tích phân
a
(x)dx hội tụ.
Khi đó, tích phân I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ đều trên T .
Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân suy rộng hội tụ, với mọi
>0, tồn tại a
0
sao cho
b
2
b
1
(x)
<, b
1
,b
2
a
0
.
Suy ra,
b
2
b
1
f(x, t)
b
2
b
1
|f(x, t)|
b
2
b
1
(x)
<.
Theo Định lý 5, tích phân I(t) hội tụ đều.
Để khảo sát tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số hội tụ đều, chúng
ta thiết lập mối quan hệ giữa nó và dãy hàm hội tụ đều.
12
Mệnh đề 1. Giả sử tích phân I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ đều trên T và (a
n
), với
a
n
>a. là dãy số sao cho lim
n
a
n
= . Khi đó, dãy hàm
I
n
(t)=
a
n
a
f(x, t)dx
hội tụ đều tới hàm số I(t) trên T .
Chứng minh. Do I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ trên T nên dãy hàm (I
n
(t)) hội tụ tới
I(t) trên T .VìI(t) hội tụ đều nên với mọi >0, tồn tại a
0
sao cho
b
f(x, t)
<, b>a
0
,t T.
Vì lim
n
a
n
= nên tồn tại N>0 sao cho với mọi n N, ta có a
n
b. Vậy,
ta có
|I
n
(t) I(t)| =
a
n
a
f(x, t)
a
f(x, t)
=
a
n
f(x, t)
<,
với mọi n N, với mọi t T . Từ đó, I
n
(t) hội tụ đều tới I(t) trên T .
2.2.1 Tính liên tục
Định lý 7. Nếu hàm f(x, t) liên tục trên [a,) ì [c, d] và tích phân I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ trên trên [c, d], thì I(t) liên tục trên [c, d].
Chứng minh. Gọi (a
n
), với a
n
>a. là dãy số sao cho lim
n
a
n
= và xét dãy
hàm
I
n
(t)=
a
n
a
f(x, t)dx, t [c, d].
Với mỗi n cố định, theo Định lý 1, hàm I
n
(t) liên tục trên [c, d]. Theo mệnh đề
1, dãy hàm (I
n
(t)) hội tụ đều tới I(t). Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm
hội tụ đều, I(t) liên tục trên [c, d].
13
2.2.2 Tính khả vi
Định lý 8. Giả sử
(a) Hàm f(x, t) liên tục và có đạo hàm riêng
f
t
(x, t) liên tục trên [a,)ì[c, d].
(b) Tích phân I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ trên [c, d].
(c) Tích phân
a
f
t
(x, t)dx hội tụ đều trên [c, d].
Khi đó, hàm I(t) khả vi trên [c, d] và ta có công thức I
(t)=
a
f
t
(x, t)dx.
Chứng minh. Xét dãy hàm
I
n
(t)=
a+n
a
f(x, t)dx, t [c, d].
Với mỗi n, theo Định lý 3, hàm I
n
(t) khả vi trên [c, d] và
I
n
(t)=
a+n
a
f
t
(x, t)dx, t [c, d].
Ta c ó lim I
n
(t)=I(t) và lim I
n
(t)=
a
f
t
(x, t)dx. Theo mệnh đề 1, dãy hàm
I
n
(t) hội tụ đều trên [c, d]. Theo định lý về tính khả vi của dãy hàm hội tụ đều,
I(t) khả vi trên [c, d] và
I
(t)=
lim
n
I
n
(t)
= lim
n
I
n
(t)=
a
f
t
(x, t)dx.
2.2.3 Tính khả tích
Định lý 9. Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên [a,) ì [c, d] và tích phân I(t)=
a
f(x, t)dx hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, hàm I(t) khả tích trên [c, d] và ta có
công thức
d
c
I(t)dt =
d
c
a
f(x, t)dx
dt =
a
d
c
f(x, t)dt
dx
14
Chứng minh. Theo Định lý 7, I(t) là hàm liên tục trên [c, d], do đó khả tích. Xét
dãy hàm
I
n
(t)=
a+n
a
f(x, t)dx, t [c, d].
Với mỗi n cố định, theo Định lý 1, hàm I
n
(t) liên tục trên [c, d]. Theo mệnh đề
1, dãy hàm (I
n
(t)) hội tụ đều tới I(t) trên [c, d]. Theo định lý về tính khả tích
của dãy hàm hội tụ đều, ta có
d
c
I(t)dt =
d
c
lim
n
I
n
(t)
dt = lim
n
d
c
I
n
(t)dt
= lim
n
d
c
a+n
a
f(x, t)dx
dt
= lim
n
a+n
a
d
c
f(x, t)dx
dt =
a
d
c
f(x, t)dt
.
3 Các tích phân Euler
3.1 Tích phân Euler loại 1
3.1.1 Định nghĩa
Tích phân Euler loại 1 hay hàm Beta là tích phân phụ thuộc 2 tham số dạng
B(p, q)=
1
0
x
p1
(1 x)
q1
dx, p > 0,q > 0.
3.1.2 Các tính chất cuả hàm Beta
1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tích phân
B(p, q)=
1/2
0
x
p1
(1 x)
q1
dx +
1
1/2
x
p1
(1 x)
q1
dx = B
1
(p, q)+B
2
(p, q).
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét