bai 5

TA THƯỜNG GẶP HÌNH ẢNH ELÍP Ở
ĐÂU ?
p



2/Phương
trình chính
tắc của elíp
Cho (E) như đònh nghóa .Ta hãy chọn hệ toạ độ
Oxy sao cho O là trung điểm đoạn F
1
F
2
. Trục Oy
là trung trực của F
1
F
2
và F
2
nằm trên tia Ox.
Hãy cho biết toạ
độ F
1
, F
2
?
x
y
O
F
1
(-c;0) , F
2
(c;0)

Điểm M(x;y) thuộc elíp (E)
F
1
M +F
2
M =2a(1)
Ta có :F
1
M
2
= (x+c)
2
+y
2
(2)
F
2
M
2
= (x-c)
2
+y
2
(3)
Từ đó F
1
M
2
- F
2
M
2
= 4cx
F
1
M-F
2
M = (4)
Từ (1) và (4) ta được
F
1
M= a+ (5)
2
2
1 2
1 2
4 2
2
MF MF
cx cx
MF MF a a
−
= =
+
cx
a
Thay (5) vào (2) ta được :
= (x+c)
2
+y
2

x
2
(a
2
-c
2
)+a
2
y
2
= a
2
(a
2
-c
2
)(6)
2
cx
a
a
 
+
 ÷
 
Đặt b
2
= a
2
- c
2
, (6) thành :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

Vậy elíp (E) nhận F
1
(-c;0) ,F
2
(c;0) làm tiêu điểm có phương
trình chính tắc :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Ví dụ :
1
49
2
2
=+
y
x
1
35
2
2
=+
y
x
2x
2
+3y
2
= 6
Chú ý :Nếu M thuộc (E) thì các bán kính :
1 2
cx cx
MF a MF a
a a
= + = − và
( a>b>0)

Điểm I(0;1) nằm trên elíp nên : , suy ra b
2
= 9
Theo giả thiết tiêu cự của elíp là 2c = F
1
F
2
=2
Vậy c = .Do đó a
2
= b
2
+c
2
= 9 +5 = 14. Vậy phương trình
chính tắc của elíp là :
2
2 2
0 3
a b
+
5
5
2 2
1
14 9
x y
+ =
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(a>b>0)Giải . Phương trình chính tắc của elíp có dạng :
Vd1 : Cho ba điểm F
1
(- ;0) , F
2
( ;0)
và I(0;3).Hãy viết phương trình chính tắc của elíp có tiêu điểm F
1
, F
2

và đi qua I.
5 5

Giải. Phương trình chính tắc của elíp có dạng :
Elíp đi qua điểm M(0;1) nên b
2
= 1
Elíp đi qua điểm N nên : ,suy ra a
2
= 4
Vậy phương trình chính tắc của elíp là :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
2 2
1 3
1
4a b
+ =
2 2
1
4 1
x y
+ =
Vd2. Viết phương trình chính tắc của elíp đi qua hai điểm
M(0;1) và N(1; )
3
2

a/ Tính đối xứng của elíp :
Nếu điểm
M(x;y) thuộc
Elíp thì M
1
(-x;-y)
M
2
(-x;y) ,M
3
(x;-y)
Có thuộc elíp ?
Tại sao?
•Elíp có hai trục đối xứng là Ox,Oy
và tâm đối xứng là gốc O.
Xét elíp có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(a>b>0)
3/Hình dạng của elíp
x
y
O

•Elíp cắt Ox tại hai điểm A
1
(-a;0) , A
2
(a;0), cắt Oy tại hai
điểm B
1
(0;b) , B
2
(0;-b).Bốn điểm A
1
,A
2
,B
1
,
,
B
2
gọi là bốn
đỉnh của elíp.
•Đoạn thẳng A
1
A
2
gọi là trục lớn của (E), độ dài 2a
•Đoạn thẳng B
1
B
2
gọi là trục nhỏ của (E), độ dài 2b
b/ Hình chữ nhật cơ sở
Hãy tìm giao
điểm nếu có
của elíp với
hai trục ?
x
y
O
A
1
-a
A
2
a
B
1
b
B
2
-b
•

x
y
O
A
1
A
2
B
1
B
2
F
1
F
2
Vẽ qua A
1
,A
2
hai đường thẳng
song song với trục Oy , vẽ
qua B
1
,B
2
hai đường thẳng
song song trục Ox .Bốn đường
thẳng( x= a, x= -a , y= b, y=-b)
tạo thành hình chữ nhật PQRS
gọi là hình chữ nhậtcơ sở của
elíp
P
Q
RS

Xem chi tiết: bai 5