nguyên hàm

Tiết 50: Nguyên hàm
Các phương pháp tìm nguyên hàm

Kiểm tra bài cũ
1) Tính

+
dxxxa )sin()


dxxb
2
)2()
Giải

+=+
xdxxdxdxxxa sin)sin()
.cos
2
2
Cx
x
+=
2) Tính vi phân dy với y = 2x
2
+1


dxxb
2
)2()

+=
dxxx )44(
2
.42
3
1
23
Cxxx
++=
2) Công thức tính vi phân dy = y dx

dy = d(2x
2
+1) = 4xdx.

Định lý 1:
Nếu

+=
CuFudu )(
và
)(xuu
=
là hàm số có đạo hàm liên tục thì

+=
.))(()('))(( CxuFdxxuxuf
II Các phương pháp tính nguyên hàm
1. Đổi biến số

Chứng minh
).(').('))'((( xuuFxuF
=
Ta có:
Vì
))(()()(' xufufuF
==
nên
).(')).(())'((( xuxufxuF
=
Như vậy, công thức

+=
CuFudu )(
đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi
u là một hàm số của biến số độc lập x.
(đạo hàm hàm hợp)
(đạo hàm theo biến u)
Theo định nghĩa nguyên hàm ta có đpcm !

Hệ quả
Với u = ax + b (a

0), ta có
.)(
1
)( CbaxF
a
dxbaxf
++=+

Ví dụ 1:


dxx )35cos(
Đặt u = 5x 3,
,sincos

+=
Cuudu
nên theo hệ quả trên ta có
.)35sin(
5
1
)35cos(

+=
Cxdxx
vì
Tính
Giải

Tính
Ví dụ 2:
Giải

= dxxxI
10
1
)12(
Đặt u = 2x 1

du = 2dx

dx =
Ta có
duuudxxx
2
1
.)1(
2
1
)12(
1010
+=
duuu )(
4
1
1110
+=


+=
duuuI )(
4
1
1110
1
Cuu
++=
1211
48
1
44
1
.)12(
48
1
)12(
44
1
1211
Cxx
++=
2
du

Các bước tính nguyên hàm trong pp đổi biến số
Bước 1: Đặt u = u(x) du = u (x)dx

dxxg )(
Bước 2: Biểu diễn g(x)dx = f(u(x).u (x)dx = f(u)du
Bước 3: Tính

+=
CuFduuf )()(
CxuFdxxg
+=

))(()(

Để tính
ta thường thực hiện các bước sau:
Chú ý: Sau khi tính nguyên hàm theo biến số mới phải
thay trở lại biến số cũ

Tính
Ví dụ 3:
Giải
a)
b)

+= dxxxI 1
2
1

+
+
=
dx
xx
x
I
2
2
12
a) Đặt u = x
2
+ 1 du = 2xdx xdx =(1/2)du
Ta có
duuxdxxdxxx
2
1
.11
22
=+=+
.
3
1
3
1
2
1
2
1
2/32/1
1
CuuuduuduuI
+====

Vậy
CxxI +++= 1)1(
3
1
22
1

b)
.)ln(
)(12
2
2
2
2
2
Cxx
xx
xxd
dx
xx
x
I
++=
+
+
=
+
+
=

.)ln(
2
2
CxxI
++=

Tính
a)
b)


= dxeI
x 23
1

=
xdxxI sincos
5
2
Ví dụ 4:
Giải
.
3
1
2323
1
CedxeI
xx
+==


a)
b)
.cos
6
1
sincos
65
2
CxxdxxI
+==


Củng cố:
1) Tính

= dxxI
7
1
)27(

= xdxeI
x
sin
cos
2

= dx
x
x
I
ln
3

+=
dxxxI
3
2
4
1

Bài tập về nhà: Làm các BT trong SGK và
sách bài tập phần đổi biến số

Xem chi tiết: nguyên hàm