Tài liệu Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P5 docx

Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
3
.1053605157 .
[>
f(0.5);

.6931471806 .
[>
f(1);


(vô cùng) .
Chứng tỏ, hàm số cho bởi công thức trên không xác định (bằng vô cùng tại
x
= 1 (tổng


=
1
1
n
n
bằng vô cùng).
[>
f(-1);

-ln(2) .
Để kiểm tra, ta có thể tính lại tổng


=

1
)1(
n
n
n
:
[>
sum((-1)^n/n,n=1 infinity);

-ln(2)
Chú ý
Nếu tính giới hạn của tổng riêng của dãy này thì máy trả lời tổng
không xác định
:
[>
limit(sum((-1)^n/n,n=1 k),k=infinity);

undefined .
Bài 2
Nghiên cứu hàm


=
+=
1
!
1)(
n
n
n
x
xf
.
Bớc 1:
Khai báo (định nghĩa hàm
)(xf
):
[>
f(x):=x->1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);


=
+=
1
!
1:)(
n
n
n
x
xxf
.
Bớc 2:
Tính giá trị của hàm số tại một số điểm (xét sự hội tụ điểm của chuỗi khi
x
nhận các giá trị cụ thể).
[>
f(0.1);

1.105170918 .
[>
f(0.2);

1.221402758 .
[>
f(0.999999);

2.718279110 .
[>
f(1);

exp(1) .
Để kiểm tra, ta tính
[>
Sum(1^n/n!,n=0 infinity);


=
0
!
1
n
n

.


[>
value(");

exp(1) .
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
4
[>
evalf(");

2.718281828 .
Tính tổng
fx
x
n
n
n
()
!
=+
=


1
1
.
[>
1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);

1 + exp(x) (1 - exp(-x)) .
[>
simplify(");

exp(x) .
Bài 3

Nghiên cứu hàm


=
=
1
sin
)(
k
k
kx
xf
.
Bớc 1:
Khai báo (định nghĩa hàm
)(xf
):
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 infinity);



=
=
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
Bớc 2:
Tính giá trị của hàm số tại một số điểm (xét sự hội tụ điểm của chuỗi khi
x

nhận các giá trị cụ thể).
[>
f(0.2*Pi);


=
1
6283185308.sin
k
k
k
.
[>
evalf(");

1.527278662 .
[>
f(Pi);

sin kPi
k
k =


1
.
[>
evalf(");

0 .
[>
f(0.1*Pi);


=
1
3141592654.sin
k
k
k
.
[>
evalf(");

1.692237735 .
[>
f(Pi/2);


=
1
2/1sin
k
k
kPi
.
[>
evalf(");

.7853981634 .
Việc tính chuỗi (vô hạn) thờng mất nhiều thời gian hơn là tính tổng (hữu hạn).
Cho nên, khi chỉ cần tính
gần đúng
thì nên tính tổng riêng với số số hạng đủ lớn.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
5
Thí dụ, ta có thể tính giá trị gần đúng của tổng vô hạn tại các điểm cụ thể bằng
cách tính tổng đến số hạng thứ 100 nh sau:
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 100);

=
=
100
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
evalf(f(1));

1.060428939 .
[>
evalf(f(Pi/5));

1.241256676 .
[>
evalf(f(Pi/2));

.7803986631 .
Ta có thể vẽ đồ thị của hàm tổng
)(xf
bằng lệnh
[>
plot(f(x),x=-0.5 0.5);
Muốn chính xác hơn, ta tính tổng đến số hạng thứ 1000:
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 1000);

=
=
1000
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
evalf(f(1));

1.070694159 .
[>
evalf(f(Pi/5));

1.255098227 .
[>
evalf(f(Pi/2));

.7848981639 .
Ta có thể vẽ đồ thị của hàm tổng
)(xf
bằng lệnh
[>
plot(f(x),x=-0.2 0.2);
So sánh các kết quả tính toán và đồ thị, ta có thể kết luận về độ chính xác trong tính
toán.
Trong các bài trên, mặc dù ta không có công thức tờng minh của hàm số, nhng ta vẫn có
thể nghiên cứu nó tơng đối tỉ mỉ: tính giá trị gần đúng của hàm số tại các điểm cụ thể, vẽ
đồ thị hàm số (là tổng của một chuỗi hàm). Nh vậy, MAPLE mở ra một khả năng mới
nghiên cứu hàm số một cách trực tiếp mà không cần (và không có) công thức biểu diễn.

Bài 4

Nghiên cứu hàm


=
=
1
2
sin
)(
k
k
kx
xf
.
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k^2,k=1 infinity);



=
=
1
2
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
f(1);

Hình 11.4


Hình 11.5
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
6
sin( )k
k
k
2
1=


.
[>
Sum(sin(k)/k^2,k=1 10);
sin( )k
k
k
2
1
10
=

.
[>
evalf(");

1.019570958 .
[>
Sum(sin(k)/k^2,k=1 100);

sin( )k
k
k
2
1
100
=

.
[>
evalf(");

1.013856043
[>
Sum(sin(k)/k^2,k=1 1000);

sin( )k
k
k
2
1
1000
=

.
[>
evalf(");

1.013959029 .
207
Chơng 12
________________
Phơng trình vi phân
12.1. Một vài bài toán
________________________________

12.1.1. Bài toán tăng trởng hoặc suy thoái
Có nhiều đại lợng trong thực tế nh số lợng dân số hoặc động vật, nhiệt độ của vật
thể nóng, lợng hóa chất tan, thay đổi theo tốc độ tỷ lệ với đại lợng tức thời. Ta có
thể biểu diễn sự thay đổi này bởi phơng trình:
)()(' tfktf = , (1)
trong đó f(t) là đại lợng tại thời điểm t, k là hằng số tỷ lệ, còn f(t) là đạo hàm của f
biểu diễn tốc độ thay đổi. Phơng trình (1) là phơng trình vi phân vì trong phơng
trình này có tham gia đạo hàm của hàm f theo t. Ngời ta nói đây là phơng trình vi
phân bậc 1 vì chỉ có đạo hàm bậc một trong đó. Nếu có sự tham gia của đạo hàm bậc k
thì phơng trình đợc gọi là phơng trình vi phân bậc k. Nếu có nhiều phơng trình vi
phân thì ta có hệ phơng trình vi phân.
Nghiệm của phơng trình (1) là một hàm số g(t) mà khi thay g vào f trong (1) ta có
đẳng thức đúng với mọi t. Muốn tìm ra f ta viết phơng trình trên dới dạng:
kf
dt
df
=
.
Hiển nhiên
f
(
t
) = 0 là nghiệm của phơng trình đã cho, nghiệm này đợc gọi là nghiệm
tầm thờng .
Ta giả thiết
0f
và biến đổi
kdt
f
df
=
. Lấy tích phân hai vế ta có:


= kdt
f
df

hay
ckttf +=
)(ln .
Do đó:
kt
etf =)(
,
trong đó

là hằng số lấy giá trị bất kỳ. Cho trớc đại lợng
f(0)
tại thời điểm
t
= 0 ta
xác định đợc hằng số
)0(f=

, vậy:
kt
eftf )0()( =
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


20
8
Để xem đây có phải là nghiệm phơng trình (1) hay không chỉ cần lấy đạo hàm rồi thế
vào (1). Ta chứng minh rằng đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, giả sử
g
(
t
) là một
nghiệm của (1) với
)0()0( fg =
.
Xét hàm
)()( tgeth
kt
=
. Ta có

)(')()(' tgetgketh
ktkt
+=

0)()( =+=

tgetgke
ktkt
.
Chứng tỏ
h
là một hằng số. Thực ra
)0()0()0( fgh ==
.
Vậy
)()0()( tfeftg
kt
==
.
Với
0)0( >f
cho trớc, nếu
0>k
ta có sự tăng trởng và nếu
0<k
ta có sự suy
thoái (đại lợng
f
(
t
) giảm theo thời gian).
12.1.2. Vận tốc ban đầu của vệ tinh
Chúng ta cần xác định vận tốc ban đầu của vệ tinh sao cho vệ tinh này có thể vợt ra
khỏi quỹ đạo trái đất. Gọi
m
là khối lợng vệ tinh và
M
là khối lợng trái đất,
x(t)

là khoảng cách vệ tinh tới tâm trái đất tại thời điểm
t
. Khi đó theo định luật Newton ta
có phơng trình:
22
2
.
x
Mm
k
dt
xd
m =
, (2)
trong đó
k
là hằng số hấp dẫn. Vế trái là lực chuyển động của vệ tinh, vế phải là lực
hút của trái đất ngợc với hớng chuyển động. Đây là phơng trình vi phân bậc hai vì
có đạo hàm bậc hai của
x
tham gia.
Phơng trình (2) có thể viết đơn giản:
22
2
x
a
dt
xd
=
, (3)
trong đó
a = kM
. Để xác định
a
ta dùng công thức
2
.
R
mM
kFmg ==
, trong đó
2
3
sec/
10
81,9
kmg =
là gia tốc rơi tự do,
R
=
6400km
là bán kính trái đất. Dễ nhận thấy
234
sec/10.8.81,9. kmRga ==
. Trở lại phơng trình (3), dùng ký hiệu
dt
dx
v =
là vận
tốc chuyển động của vệ tinh và sử dụng công thức biến đổi
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
dt
xd
=== .
2
2
,
ta thu đợc phơng trình vi phân bậc nhất:
2
x
a
dx
dv
v =

hay

dx
x
a
vdv
2
=
.
Lấy tích phân hai vế ta đợc:
c
x
av
+=
2
2
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

20
9
Khi
x = R
, vận tốc
0
vv =
là vận tốc ban đầu của vệ tinh nên ta xác định
64002
2
0
a
v
c =
.
Suy ra
640022
2
0
2
a
v
v
a
x
+
=
.
Khoảng cách
x
đạt cực đại khi
v = 0
và khi đó:
26400
2
0
v
a
a
x

=
.
Muốn cho
x
tiến tới giá trị thì mẫu số của biểu thức trên phải bằng
0
và ta có
sec/2,11
6400
10.8.8,9.2
6400
2
4
0
km
a
v =


Đây là tốc độ ban đầu mà vệ tinh phải có để rời khỏi trái đất vào vũ trụ với khoảng
cách dần tới vô cùng.
Qua hai bài toán trên chúng ta có thể hình dung đợc tầm quan trọng của phơng trình
vi phân. Nói chung không có một phơng pháp vạn năng nào để giải các phơng trình
vi phân, và không phải phơng trình vi phân nào cũng giải đợc. Mỗi lớp phơng trình
có một phơng pháp giải đặc thù. Trong giáo trình này, nhằm mục đích giúp ngời đọc
làm quen với khái niệm phơng trình vi phân và sử dụng nó trong một số môn học
khác (vật lý, cơ học, môi trờng, sinh thái, ), về mặt lý thuyết chúng tôi chỉ giới thiệu
một số dạng phơng trình vi phân tơng đối đơn giản, mà tập trung nhiều hơn vào việc
thực hành tính toán giải phơng trình vi phân trên máy tính (trong phần bài tập và tính
toán thực hành). Bạn đọc muốn tìm hiểu kỹ hơn về chuyên ngành này xin xem giáo
trình Phơng trình vi phân.
12.2. Phơng trình vi phân có biến tách
__________________

12.2.1. Định nghĩa
Phơng trình vi phân có biến tách là phơng trình dạng:
)()(' yhxgy =
(1)

Dạng tơng đơng là:
0)()( =+ dyybdxxa
. (2)

Thí dụ
(a)
2
xy
dx
dy
=
là phơng trình có biến tách. Rõ ràng y = 0 là nghiệm tầm thờng của
phơng trình. Ta giả thiết
0)( xy
. Khi đó phơng trình trên đợc viết:
xdx
y
dy
=
2
.
(b)
2
1
cos
'.
y
x
yy
+
=
cũng là một phơng trình có biến tách, có thể viết dới dạng:
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
0
dxxdyyy cos1
2
=+
.
12.2.2. Phơng pháp giải
Giả sử ta có phơng trình vi phân có biến tách ở dạng (2). Khi ấy lấy tích phân ta đợc
cdxxadyyb += )()(
,
trong đó hằng số
c
đợc xác định bởi giá trị của
00
)( yxy =
tại một điểm
0
x
cho
trớc,
00
)( yxy =
đợc gọi là điều kiện khởi đầu.
Thí dụ
1) Giải phơng trình vi phân:
1)0(,1')1(
2222
=+= yyxyxyy
.
Để giải phơng trình trên ta thực hiện những bớc sau:

Biến đổi vế phải
)1)(1(1
222222
=+ yxyxyx
và đa phơng trình về
dạng biến tách:
dxx
y
dy
)1(
1
2
=
+
.

Lấy tích phân hai vế ta có
cx
x
y ++=+
3
1ln
3
, hay
1
3
3
=
+ x
x
ey



Xác định hằng số

qua điều kiện khởi đầu:
1)0(1 ==

y
. Vậy
2=

.

Kiểm tra lại nghiệm
12
1
3
3
=
+
x
ey
của phơng trình ban đầu và kết luận đó
chính là nghiệm cần tìm.
Thí dụ
2) Một chất phóng xạ phân rã với với tốc độ tỷ lệ thuận với khối lợng của nó. Hãy
tính chu kỳ nửa phân rã, tức là thời gian để chất phóng xạ còn một nửa.
Để giải phơng trình trên ta thực hiện những bớc sau:

Lập phơng trình của bài toán phân rã (nh bài toán tăng trởng). Gọi
f
(
t
) là
lợng phóng xạ ở thời điểm
t
. Khi đó
)()(' tkftf =
,
trong đó
k > 0
là hằng số tỷ lệ (tùy thuộc vào chất phóng xạ; đối với radium
k
=0,000428/ năm).

Chuyển phơng trình về dạng biến tách:
dtk
f
df
=
.

Tích phân hai vế ta có
cktf +=ln
, hay
ft e
kt
()=


.

Hằng số

đợc xác định bởi
f
(0) lợng chất phóng xạ ở thời điểm
t = 0
:
)0(f=

.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
1

Kiểm tra lại ta thấy
kt
eftf

= )0()(
là nghiệm phơng trình ban đầu.

Tại
2/1

=t
chu kỳ nửa phân rã,
)0(
2
1
)(
2/1
ff =

.
Do đó
)2ln(
1
2/1
k
=

.
12.3. Phơng trình tuyến tính cấp một
__________________

12.3.1. Phơng trình thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp một thuần nhất là phơng trình dạng
0)('
=+ yxpy
. (1)
Đây là một phơng trình có biến tách với
0y
,
dxxP
y
dy
)(
=
.
Do đó nghiệm sẽ là

=
dxxP
cey
)(
.
Ngoài ra
y
= 0
cũng là nghiệm, nó ứng với
c
= 0.
Thí dụ
Giải
1)0(,0)cos('
==+ yxyy
.
Theo phơng pháp trên:
)sin()( xdxxp
cecey

==

Hằng số
c
đợc xác định bởi điều kiện
y
(
0
) = 1
, tức là
c
= 1
. Ta có
)sin(x
ey

=
và khi
thử vào phơng trình thì đó đúng là nghiệm cần tìm.
12.3.2. Phơng trình không thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp 1 (không thuần nhất) là phơng trình dạng
)()('
xqyxpy =+
, (2)
trong đó
0)(
xq
.
Phơng pháp giải:

Trớc hết giải phơng trình thuần nhất ta thu đợc nghiệm
dxxp
Wey
)(
=
,
trong đó
W
là hằng số bất kỳ.

Tìm nghiệm của (2) dới dạng
dxxp
exWy
)(
)(

=
có nghĩa là xem
W
nh một
hàm cần tìm để

y
thỏa mãn (2).
Ta có
dxxpdxxp
Wexpe
dx
dW
dx
dy
)()(
)(

=
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
2
Thay thế vào (2) ta thu đợc phơng trình mà
W
phải thỏa mãn
)(
)(
xq
dx
dW
e
dxxp
=

. (3)

Giải phơng trình có biến tách (3) ta thu đợc
cdxexqW
dxxp
+=
)(
).(

với c là hằng số bất kỳ.

Thay
dxxpdxxp
ecdxexqy
)()(
}).({(

+=
vào phơng trình (2) ta kết luận đây là
nghiệm cần tìm.

Nếu cho trớc điều kiện khởi đầu thì hằng số
c
sẽ đợc xác định cụ thể.
Thí dụ
1) Giải phơng trình
2)
2
(),sin()sin(' =

=+ yxxyy
.
Trớc hết giải phơng thuần nhất
0)sin(' =+ xyy
ta thu đợc
)cos(
x
Wey =
.
Tìm nghiệm phơng trình không thuần nhất dới dạng
dxxp
exWy
)(
)(

=
ta thu đợc
phơng trình đối với hàm
W
:
)sin(
)cos(
x
dx
dW
e
x
=
.
Giải phơng trình này ta có
cdxexW
x
+=
)cos(
)sin(

ce
x
+=

)cos(
.
Suy ra
)cos(
1
x
cey +=
. Thay y và y vào phơng trình ban đầu:
)sin()sin()sin()sin()sin(]1[]'1[
)cos()cos()cos()cos(
xexcxexcxcece
xxxx
=++=+++

Vậy
)cos(
1
x
cey +=
là nghiệm của phơng trình.
Để xác định
c
ta sử dụng điều kiện khởi đầu
21)
2
( =+= cy

, và suy ra c = 1.
Nghiệm cần tìm là
)cos(
1
x
ey +=
.
Thí dụ
2) Hồ Hoàn Kiếm tại thời điểm
t

= 0 chứa
210
8
.
lít nớc sạch. Cứ một giây nớc
chảy vào hồ từ cống rãnh của c dân xung quanh là 60 lít, trong đó có 10 lít chất ô
nhiễm và lợng nớc thoát khỏi hồ là 60 lít. Tìm lợng chất ô nhiễm có trong hồ theo
thời gian. Tính giá trị giới hạn.
Để giải bài toán trên ta gọi y(
t
) là lợng chất ô nhiễm tính theo đơn vị lít có trong hồ
tại thời điểm
t
. Tỷ lệ chất ô nhiễm chứa trong 1 lít nớc hồ sẽ là
8
10.2/)(ty
. Tốc độ
thay đổi của y bằng lợng chất ô nhiễm chảy vào hồ (10 lít/giây) bớt đi lợng ô nhiễm
chảy qua ống thoát(
8
10.2/)(.60 ty
lit/ giây). Vậy ta có phơng trình:
10
10.2
60
'
8
+= yy
. (4)
Đây là phơng trình tuyến tính cấp một không thuần nhất. Nghiệm của phơng trình
thuần nhất
yy
8
10.2
60
' =
là

Xem chi tiết: Tài liệu Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P5 docx